Janbu

El método Janbu es un método general de cortes realizados en la base del equilibrio límite. Debe satisfacer el equilibrio de fuerzas y momentos actuando en bloques individuales (El único ue no se satisface es  el momento de equilibrio en el último bloque superior). Los bloque son creados dividiendo el suelo sobre la superficie terrestre dividiendo planos. Las fuerzas actuando en bloques individuales se muestran en la siguiente figura.

Esquema estático – Método Janbu

Cada bloque se asume para contribuir a las siguientes fuerzas:

Wi	-	Peso del bloque, incluyendo material de sobrecarga que tenga el carácter del peso incluyendo la influencia del coeficiente vertical de sismo Kv
Kh.Wi	-	Fuerza de inercia horizontal que representa el efecto del sismo Kh, es el factor de la aceleración horizontal durante el sismo
Ni	-	Fuerza normal en la superficie de deslizamiento
Ti	-	Fuerza de corte en la superficie de deslizamiento
Ei ,Ei+1	-	Fuerzas ejercidas por cuerpos vecinos, inclinados desde el plano horizontal por el ángulo δi, resp. δi+1,  y yacen a la altura zi, resp. zi+1, sobre la superficie de deslizamiento
Fxi Fyi	-	Otras fuerzas horizontales y verticales actuando en el bloque
M1i	-	Momento desde las fuerzas Fxi Fyi rotando sobre un punto M, el cuál es el centro del segmento de la superficie i–th
Ui	-	Presión de poro resultante en el segmento de la superficie i–th

Los siguiente supuestos se introducen en el método Janbu para calcular el límite de equilíbrio de las fuerzas y momento de los bloques individuales:

-	Los planos divididos entre bloques son siempre verticales
-	La línea de acción de peso del bloque Wi pasa por el centro del segmento i-th de la superficie de deslizamiento representada por el punto M
-	La fuerza normal Ni actúa en el centro del segmento i-th de la superficie de deslizamiento, en el punto M
-	La posición zi de la fuerza Ei actuando entre bloques, se asume en la superficie de deslizamiento en el punto extremo como z=0

La eleción de la posición z_i puede ser una influencia significativa en la convergencia del método. Si se toma una mala suposición de la posición z_i para una superficie dada, puede ser imposible satisfacer las condiciones de equilibrio (el algoritmo puede no converger). Las alturas z_i sobre la superficie de deslizamiento se establecen aproximadamente a un tercio de la altura de la interfaz entre bloques. En caso de que no se satisfagan el algoritmo de condiciones de equilibrio, cambiar la altura a una posición diferente, ejemplo: ligeramente superior en la posición pasiva, cerca de la punta, mas bajo en la zona activa, cerca de la cresta de la pendiente. 

La solución adopta la siguiente expresión:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)

Ecuación (1) representa la relación entre los valores de la tensión efectiva y total de la fuerza normal actuando en la superficie de deslizamiento. Ecuación (2) corresponde a las condiciones Mohr-Coulomb representando la relación entre la fuerza nromal y la fuerza de corte en un segmento dado de la superficie de deslizamiento. Ecuanción (3) representa la ecuación de la fuerza de equilibrio en dirección a la normal al segmento i–th en la superficie de deslizamiento. Mientras que laecuación (4) representa el equilibrio a lo largo del segmento i–th en la superficie de deslizamiento. FS Es el factor de seguridad, el cual es utilizado para reducir los parámetros del suelo. Ecuación (5) corresponde a la ecuación de momento de equilibrio sobre el punto M, donde y_gi es la coordenada vertical en el punto de aplicación del peso del bloque y y_M es la coordinada vertical del punto M. Modificando la fuerza de equilibrio de la ecuación (3) y (4) se obtiene la siguiente fórmula recursiva (6):

(6)

Este fórmula permite calcular todas las fuerzas E_i actuando entre los bloques para un valor dado de δ y FS
Esta solución asume que en el origen de la superficie de deslizamiento el valor E es conocido e igual a E_i=0.

La fórmula para calcular los ángulos δ_i (7) proviene de la ecuación de equilibrio (5) como: 

(7)

Esta fórmula permit calcular los ángulos δ_i para un valior de z_i dado, conociendo los valores de la superficie de deslizamiento en los puntos extremos δ=0.

El factor de seguridad FS es determinado empleando el siguiente proceso de interacción:

1.	Los valores iniciales de los ángulos se establecen como δi = 0 y las posiciones zi aproximadamente a un tercio de la atura de la interfaz.
2.	El factor de seguridad FS para un valor de δi dado, surje de la ecuación (6), mientras se asume el valor de En+1 = 0 en el extremo de la superficie de deslizamiento.
3.	Los valores de δi son proporcionados por la ecuación (7) utilizando los valores de Ei determinados en el paso previo.
4.	Los pasos 2 y 3 se repiten hasta que el valor de FS no cambia.

Es necesario evadir las soluciones inestables para que el proceso de iteración sea exitoso. Estas inestabilidades ocurren cuando toma lugar la división por cero en la expresión (6) ejemplo:

Otra comprobación para prevenir inestabilidad numérica es la verificación de parámetros m_α  – se satisface siguiendo las siguiente condición.

Por lo tanto, antes de ejecutar la iteración es necesario encontrar el valor crítico mas alto de (FS_min) que satisfaga las condiciones antes mencionadas. Los valores por debajo de éste valor crítico FS_min se encuentran en un área de solución inestable, por lo que la iteración comienza estableciendo FSa un valor por encima de FS_min y todos los valores resultantes de FS de las iteraciones ejecutadas son mayores a FS_min.

Bibliografía:

Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.

Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.