Spencer

El método de Spencer es un método general de cortes realizados en la base del equilibrio límite. Se requiere satisfacer el equilibrio de fuerzas y momentos actuando en bloques individuales. El bloque es creado mediante al división del suelo sobre la superficie de deslizamiento dividiendo planos. Las fuerzas actuando en bloques individuales se muestran en la siguiente figura:

Esquema estático – Método Spencer

Cada bloque asume una contribución debido a las siguientes fuerzas:

Wi	-	Peso del bloque, incluyendo material de sobrecarga que tenga el carácter del peso incluyendo la influencia del coeficiente vertical de sismo Kv
Kh.Wi	-	Fuerza de inercia horizontal representando el efecto del sismo Kh, es factor de aceleración horizontal durante el sismo
Ni	-	Fuerza Normal actuando en la superficie de deslizamiento
Ti	-	Fuerza de corte actuando en la superficie de deslizamiento
Ei ,Ei+1	-	Fuerza ejercidas por bloques vecinos, inclinados desde el plano horizontal por el ángulo δ
Fxi Fyi	-	Otra fuerza horizontal and vertical actuando en el bloque
Mli	-	Momento de Fuerzas Fxi ,Fyi rotando alrededor del punto  M, el cual es el centro del segmento de la superficie de deslizamiento ith
Ui	-	Presión de poro resultante en el segmento de la superficie de deslizamiento ith

Las siguientes suposiciones se introducen en el método de Spencer para calcular el equilibrio límite de fuerzas y momento de bloques individuales:

-	La división de los planos entre bloques son siempre verticales
-	La línea de acción del peso del corte Wi pasa a través del centro del segmento de la superficie de deslizamiento por el punto M
-	La fuerza Normal Ni está activa en el centro del segmento ith segmento de la superficie de deslizamiento, en el punto M
-	La inclinación de fuerzas Ei actuando entre bloques es constante para todos los bloques y es igual δ, solo en el punto final de la superficie de deslizamiento es δ=0

La solución adopta las siguientes expresiones:

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)

Representación de ecuaciones:

(1) la relación entre valores efectivos y totales de la fuerza Normal actuando en la superficie de deslizamiento.

(2) corresponde a las condiciones de Mohr-Coulomb representando la relación entre la fuerza normal y la fuerza de corte de un segmento determinado de la superficie de deslizamiento.

(3) la fuerza ecuación de equilibrio en dirección normal al segmento i^th de la superficie de deslizamiento 

(4) equilibrio a lo largo del segmento i^th de la superficie de deslizamiento. FS es el factor de seguridad, el cual se utiliza para reducir los parámetros de suelo.

(5) Para la ecuación del momento de equilibrio del punto M. Donde y_gi es la coordenada vertical del punto de aplicación del peso del bloque y y_M  es la coordenada vertical del punto  M. Las ecuaciones modificadas (3) y (4) proveen la siguiente fórmula de recursión:

Esta fórmula permite calcular, para un valor determinado de δ, valores para todos los brazos z de fuerzas actuando entre bloques, conociendo el valor a la izquierda del origen de la superficie de deslizamiento, donde z₁=0.

Otra fórmula recursiva se deriva de la ecuación del momento de equilibrio (5) como:

Esta fórmula permite calcular, para un valor determinado, valores para todos los brazos z de fuerzas actuando entre bloques, conociendo el valor a la izquierda del origen de la superficie de deslizamiento, donde z₁=0.

El factor de seguridad FS es determinado empleando el siguiente proceso de iteración:

1.	El valor inicial de δ se asigna a cero δ = 0
2.	El factor de seguridad FS para un valor determinado de δ sigue la siguiente ecuación (6), mientras se asume el valor En+1 = 0 de al final de la superficie de deslizamiento
3.	El valor de δ es proporcionado por la ecuación (7) utilizando el valor de E determinado en el paso anterior con el requisito de tener el momento del último bloque igual a cero. La ecuación (7) no proporciona el valor de zn+1 ya que ésta es igual cero. Para éste valor se debe satisfacer la ecuación del momento de equilibrio (5)
4.	Se repiten los paso 2 y 3 hasta que el valor de δ se mantenga estable y no cambie

Para que el proceso de iteración sea estable es necesario evitar soluciones inestables. Estas inestabilidades se producen en puntos donde la división por 0 en expresiones (6) y (7) toma lugar. En la ecuación (7), la división por cero se encuentra para δ = π/2 o δ = -π/2. Por lo tanto, el valor del ángulo debe ser localizado dentro del intervalo (-π/2;π/2). En la ecuación (6), la división por cero se presenta cuando:

Otro control para prevenir la inestabilidad numérica es verificar el parámetro m_α  – se debe satisfacer la siguiente condición:

Por lo tanto, antes de ejecutar la iteración es necesario encontrar el valor mas alto (FS_min) que satisfaga las condiciones antes mencionadas. Los valores por debajo del valor crítico FS_min se encuentran en un área de soluciones inestables, por lo tanto se comienza con la iteración configurando FS a un valor “justo” por encima de FS_min y todos los valores FS resultantes del proceso de iteración son mayores a FS_min.

Bibliografía:

Spencer, E. 1967. A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel interslice forces. Géotechnique, 17(1): 11–26.